作业帮急 设A1=2,A2=4,数列Bn满足：Bn=A(n+1)-An,B(n+1)=2Bn +21 求证书写BN+2是等比数列（我已证了）2求数列An的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 15:31:39
急 设A1=2,A2=4,数列Bn满足：Bn=A(n+1)-An,B(n+1)=2Bn +21 求证书写BN+2是等比数列（我已证了）2求数列An的通项公式
急 设A1=2,A2=4,数列Bn满足：Bn=A(n+1)-An,B(n+1)=2Bn +2
1 求证书写BN+2是等比数列（我已证了）
2求数列An的通项公式
急 设A1=2,A2=4,数列Bn满足：Bn=A(n+1)-An,B(n+1)=2Bn +21 求证书写BN+2是等比数列（我已证了）2求数列An的通项公式
设A1=2 A2=4
数列Bn满足：B(n) = A(n+1) - A(n) ①
B(n+1)=2B(n) +2 ②
B(n+1) = 2B(n) +2 ===> [B(n+1) +2] = 2 [B(n) +2] 可见B(n) +2 是公比q=2 的等比数列
设 B(n) +2 = B(1) * q^n
= 2*q^n -----------B(1) = A(2) - A(1) = 2
= 2^(n+1) ------------因为q = 2
所以 B(n) = 2^(n+1)-2 ---------- ③
A(n) = A(1) + [A(2) - A(1)] + [A(3) - A(2)] + [A(4) - A(3)] + .[A(n) - A(n-1)]
= A(1) + B(1) + B(2) + B(3) + .+ B(n-1)
= 2 + (2^2 - 2) + (2^3 - 2) + (2^4 - 2) + .+(2^n - 2)
= 2 - 2(n-1) + (2^2 + 2^3 + 2^4 + .+ 2^n)
= -2n + 4 + [2^(n+1) - 4 ] / [2-1]
= 2^(n+1) - 2n
补充：实际上：根据：B(n+1) = 2B(n) +2 可以写出：--------------③
B(n) 的通项为 B(n) ＝ λ 2^n + ξ -----------λ 和 ξ 是两个需要你来确定的常数,方法如下
把 B(n+1) ＝ λ 2^(n+1) + ξ 和 B(n) ＝ λ 2^n + ξ 代入到 ③得到 ξ = -2
考虑 B(1) = A(2) - A(1) = 2 得到 λ = 2
B(n) ＝ 2^(n+1) - 2 真的很不容易啊,半天才只是求了个Bn -------但是,方法可推广的
看图片 an=2^(n+2)-2*(n+3)
由Bn=A(n+1)-An,B(n+1)=2Bn +2
B(n+1)=A（n+2）-A(n+1)=2Bn +2 =2{A(n+1)-An}+2
从而有A（n+2）-A(n+1)+2=2{A(n+1)-An+2}…………
A（3）-A(2)+2=2{A(2)-A1+2}
A（n+2）-A(n+1)+2=2^n ×4=2^（n+2）
从而An-A(...
全部展开
由Bn=A(n+1)-An,B(n+1)=2Bn +2
B(n+1)=A（n+2）-A(n+1)=2Bn +2 =2{A(n+1)-An}+2
从而有A（n+2）-A(n+1)+2=2{A(n+1)-An+2}…………
A（3）-A(2)+2=2{A(2)-A1+2}
A（n+2）-A(n+1)+2=2^n ×4=2^（n+2）
从而An-A(n-1)+2=2^n…………
A2-A1+2=2²
An-A1+2(n-1)=2²{1+2+……+2^（n-2）}=2²×{1-2^（n-1）}/（2-1）=2^（n+1）-4
所以An=2^（n+1）-2n
从而Bn=A(n+1)-An=2^（n+2）-2（n+1）-2^（n+1）+2n=2^（n+1）-2
收起
根据（1）可到bn=2^(n+1)-2
b1+b2+...+bn=an-a1
an=2^(n+2)-2*(n+3)