证明 y=x（sinx） 不是周期函数 急!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 23:51:31

证明 y=x（sinx） 不是周期函数 急!
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证明 y=x（sinx） 不是周期函数 急!
若T(T≠0)是它的周期,f(x)=x(sinx),则
对任意x,f(x+T)-f(x)=0,即(x+T)sin(X+T)-xsinx=0
取x=0,则TsinT=0,于是sinT = 0,因此cosT = ±1 ...①;
取x=π/2,则(T+π/2)sin(T+π/2)-π/2=0
cosT = (π/2)/(T+π/2)
根据①,(π/2)/(T+π/2)=±1,②T≠0,于是T=-π.
再取x=π/4,则f(x)=π√2/8,而f(x+T)=f(π/4-π)=f(3π/4)=3π√2/8
显然f(x)≠f(x+T),矛盾.
综上,y=x（sinx） 不是周期函数.

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