已知f(x)=e^x-1-x-ax^2 ,当x≥0时f(x)≥0,求a的范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 11:47:43

已知f(x)=e^x-1-x-ax^2 ,当x≥0时f(x)≥0,求a的范围
已知f(x)=e^x-1-x-ax^2 ,当x≥0时f(x)≥0,求a的范围

已知f(x)=e^x-1-x-ax^2 ,当x≥0时f(x)≥0,求a的范围
f(x)=e^x-1-x-ax^2,f'(x)=e^x-1-2ax
当a≤1/2时,f'(x)=e^x-1≥0在x≥0时恒成立,f(x)在[0,+∞)单调递增,且f(0)=0
所以当a≤1/2时,有x≥0时f(x)≥0
当a>1/2时,将f(x)=e^x-1-x-ax^2分解为h(x)=e^x-1和g(x)=x+ax^2
即f(x)=h(x)-g(x),利用图像,得只需令h'(x)≥g'(x)在x≥0时恒成立即可
得e^x-1≥2ax,即当a≤1/2时成立,与a>1/2矛盾,该情况不存在
所以综上所述,a的取值范围为a≤1/2