有序正整数ab满足a+b=2010 a大于b且互质 满足条件多少对有序正整数对（a,b)(a

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 23:51:17

有序正整数ab满足a+b=2010 a大于b且互质 满足条件多少对有序正整数对（a,b)(a
有序正整数ab满足a+b=2010 a大于b且互质 满足条件多少对
有序正整数对（a,b)(a

有序正整数ab满足a+b=2010 a大于b且互质 满足条件多少对有序正整数对（a,b)(a
不难证明:a和b的最大公约数等于a和a+b的最大公约数.
因此a,b互质等价于a与a+b = 2010互质.
于是满足a,b互质且a+b = 2010的正整数对(a,b)的个数,等于1,...,2009中与2010互质的整数个数.
分解质因数2010 = 2×3×5×67.
如果学过Euler φ函数,可直接得到这样的整数个数φ(2010) = (2-1)(3-1)(5-1)(67-1) = 528.
即恰有528对正整数(a,b),满足a,b互质且a+b = 2010.
其中恰有一半满足a < b,故得结果为264.
补充证明一下φ(2010)的公式,用容斥原理,设集合S = {1,2,...,2010}.
设d是2010的一个正约数,易知S中被d整除的整数个数为2010/d.
由容斥原理,|S中与2010互质的整数|
= |S|-|S中被2整除的整数|-|S中被3整除的整数|-|S中被5整除的整数|-|S中被67整除的整数|
+|S中同时被2,3整除的整数|+|S中同时被2,5整除的整数|+...(6项)
-|S中同时被2,3,5整除的整数|-|S中同时被2,3,67整除的整数|-...(4项)
+|S中同时被2,3,5,67整除的整数|
= |S|-|S中被2整除的整数|-|S中被3整除的整数|-|S中被5整除的整数|-|S中被67整除的整数|
+|S中被6整除的整数|+|S中被10整除的整数|+...
-|S中被30整除的整数|-|S中被402整除的整数|-...
+|S中被2010整除的整数|
= 2010-2010·1/2-2010·1/3-2010·1/5-2010·1/67
+2010·1/2·1/3+2010·1/2·1/5+...
-2010·1/2·1/3·1/5-2010·1/2·1/3·1/67-...
+2010·1/2·1/3·1/5·1/67
= 2010·(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/67)
= (2-1)(3-1)(5-1)(67-1).

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