积分第二中值定理怎么证明?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 09:44:45

积分第二中值定理怎么证明?
积分第二中值定理怎么证明?

积分第二中值定理怎么证明?
第二中值定理：设f(x)在[a,b]上可积,g(x)在[a,b]上单调,
则存在ξ∈[a,b],使得
∫(a,b) f(x)g(x)dx
= g(a)∫(a,ξ) f(x)dx + g(b)∫(b,ξ) f(x)dx
积分第一中值定理：若f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使
∫(a,b) f(x)dx = f(ξ)(b - a)
设G(x)为f(x)的原函数.
由第一中值定理得 在[a,b]中存在e 使
∫(a,b) f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)
而要证的部分（第二中值定理等式右边) 要证ξ存在
因为g(a)∫(a,ξ) f(x)dx + g(b)∫(b,ξ) f(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(ξ)g(a)-G(ξ)g(b)
故 因为存在e使∫(a,b) f(x)g(x)dx=G(b)g(b)-G(a)g(a)+G(e)g(a)-G(e)g(b)成立
只要ξ=e 即有第二中值定理等式成立 故ξ存在

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