设x,y,z∈(0,+∞),且3^x=4^y=6^z,试比较3x.4y,6z的大小.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 05:46:42

设x,y,z∈(0,+∞),且3^x=4^y=6^z,试比较3x.4y,6z的大小.
设x,y,z∈(0,+∞),且3^x=4^y=6^z,试比较3x.4y,6z的大小.

设x,y,z∈(0,+∞),且3^x=4^y=6^z,试比较3x.4y,6z的大小.
3^x=4^y=6^z=k>0
=>x=log3(k)
y=log4(k)
z=log6(k)
=>3x=3log3(k)=log3[k^3], 4y=log4(k^4),6z=log6(k^6)
=>3x-4y
=log3[k^3]-log4(k^4)
=[3lgk/lg3-4lgk/lg4]
=lgk[(3lg4-4lg3)/lg3*lg4]
=lgk[lg(4^3/3^4)/lg3*lg4]>0
=>3x>4y
同理:4y>6z

由题意,等号两边同时取对数,x*ln3=y*ln4=z*ln6
x/y=ln4/ln3,则3x/4y=(3/4)*(ln4/ln3)=ln4^3/ln3^4=ln64/ln81<1,则3x<4y
y/z=ln6/ln4,则4y/6z=(2/3)*(ln6/ln4)=ln6^2/ln4^3=ln36/ln64<1,则4y<6z
则3x<4y<6z
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