八年级数学奥赛题2009年的n是大于1的整数.求证n的立方是两个数的平方的差

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 15:33:25

八年级数学奥赛题2009年的n是大于1的整数.求证n的立方是两个数的平方的差
八年级数学奥赛题
2009年的
n是大于1的整数.
求证n的立方是两个数的平方的差

八年级数学奥赛题2009年的n是大于1的整数.求证n的立方是两个数的平方的差
这是南昌的的考题吧
我也考了
告诉你
因为n^3=n^2*n
不妨设n^3=(a+b)(a-b)
因为都为正整数
所以(a+b)>(a-b),n^2>n
所以a+b=n^2
a-b=n
解出来a=(n^2+n)/2,b=(n^2-n)/2
因为n^2+n=n(n+1)为连续数相乘为偶数
所以(n^2+n)/2为正整数,同理(n^2-n)/2也是
所以,命题得证
还有一种解法,想了解的话hi我

n^3=[(n^2+n)/2]^2-[(n^2-n)/2]^2,
=[(n^2+n+n^2-n)/2]*[(n^2+n-n^2+n)/2]
=n^2*n

因为n^3=n^2*n
不妨设n^3=(a+b)(a-b)
因为都为正整数
所以(a+b)>(a-b),n^2>n
所以a+b=n^2
a-b=n
解出来a=(n^2+n)/2,b=(n^2-n)/2
因为n^2+n=n(n+1)为连续数相乘为偶数
所以(n^2+n)/2为正整数,同理(n^2-n)/2也是
所以,命题得证

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