作业帮高数达人进:如何证明"x/1＋x ＜ln (1＋x) ＜ x"
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 17:42:54
高数达人进:如何证明"x/1＋x ＜ln (1＋x) ＜ x"
高数达人进:如何证明"x/1＋x ＜ln (1＋x) ＜ x"
高数达人进:如何证明"x/1＋x ＜ln (1＋x) ＜ x"
两边同除以x,用拉格朗日中值定理做
这个只用导数就能做
令f (x ) =x/1+x -ln (1＋x) 求个导算个极值就好了
同理另一个也是这样做算完极值后，看极值是否＜x 吗？f (x ) =x/1+x -ln (1＋x) 求出这个的极值就知道 x/1+x ＜ln (1＋x) 了，算出这个就可以用同样方面算另一个了，你算算试试，其实证明大小问题，就是做个减法就是了求极值要知道自变量的区间啊。x/1＋x ＜ln (...
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这个只用导数就能做
令f (x ) =x/1+x -ln (1＋x) 求个导算个极值就好了
同理另一个也是这样做
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先看右边：
两相除，再同时去以e为底指数，之后对e^x作麦克劳琳展开（其实就是证明e^x的增长速度大于1+x）
ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)<1
所以ln(1+x)
在x=0时x/(1+x)=ln(1+x)=0;
当x>0时
对x/(1+x)和...
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先看右边：
两相除，再同时去以e为底指数，之后对e^x作麦克劳琳展开（其实就是证明e^x的增长速度大于1+x）
ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+....)<1
所以ln(1+x)
在x=0时x/(1+x)=ln(1+x)=0;
当x>0时
对x/(1+x)和ln(1+x)分别求导数，
[1/(1+x)]'=[(1+x)-x/(1+x)^2]=1/[(1+x)^2]
[ln(1+x)]'=[1/(1+x)]
两导数作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1
所以，在x>0时，x/(1+x)的增长速度小于ln(1+x)，而在x=0出两者相等。
所以 x/(1+x)
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