高等代数矩阵的对角化习题

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 15:54:58

高等代数矩阵的对角化习题
高等代数矩阵的对角化习题

高等代数矩阵的对角化习题
证:(1)
δ(X+Y)=A(X+Y)=AX+AY=δX+δY
δ(kX)=A(kX)=kAX=kδX
所以δ是线性变换
(2)
δe1=Ae1=a11e1+a21e3
δe2=Ae2=a11e2+a21e4
δe3=Ae3=a12e1+a22e3
δe4=Ae4=a12e2+a22e4
所以δ在基e1,e2,e3,e4下的矩阵为
a11 0 a12 0
0 a11 0 a12
a21 0 a22 0
0 a21 0 a22
记此矩阵为B.
(3) 记P=
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
则P可逆,且 P^-1BP=
A 0
0 A
当A可相似对角化时
存在可逆矩阵C 使得 C^-1AC=D (对角矩阵)
令 Q=
C 0
0 C
则 (PQ)^-1B(PQ) = Q^-1(P^-1BP)Q =
D 0
0 D
是对角矩阵.
所以线性变换δ在基(e1,e2,e3,e4)PQ下的矩阵为上述对角矩阵