过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB .过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB 过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB （1）求

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/06 07:41:32

过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB .过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB 过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB （1）求
过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB .过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB
过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB 过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB
（1）求AB中点的轨迹方程
②证明直线AB与x轴交点为定点

过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB .过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB 过抛物线Y^2=2X的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB （1）求
引理1:过两条直线l1=0与l2=0交点的任意一条直线l的方程l=0可写为l=λl1+μl2
引理2:过两条圆锥曲线c1=0和c2=0四个交点的任意一条圆锥曲线c=0方程都可写为c=λc1+μc2
在抛物线y^=2px中,设它的一条对顶点张角为直角的弦的方程为l=0,弦的端点与原点连线的方程为y=k1x和y=k2x,其中k1k2=-1,则(y-k1x)(y-k2x)=0可看作一条特殊的圆锥曲线c1=0把抛物线y^=2px看作圆锥曲线c2=0,其中c2=y^2-2px,把方程x*l=0看作一条圆锥曲线c=0则由引理2,c=λc1+μc2,即x*l=λ(y-k1x)(y-k2x)+μ(y^2-2px),则方程左边能被x整除,右边也必须能被x整除.令λ=-1,μ=1即可满足要求.化简得x*l=(k1+k2)xy-k1k2x^2-2px=0,即l=-k1k2x+(k1+k2)y-2p,注意到k1k2=-1,l=x+(k1+k2)y-2p,或写为l=(x-2p)+(k1+k2)y,即弦的方程为(x-2p)+(k1+k2)y=0,由引理1它经过直线x-2p=0与直线y=0的交点,即点(2p,0)
设这条弦的中点为M,由弦过定点(2p,0),故它的方程可写为y=k(x-2p),由抛物线弦中点的性质k*yM=p,同时弦的中点坐标必须满足yM=k(xM-2p),消去k可得y^2=p(x-2p),即为弦的中点轨迹.

全部展开

我给你提供一个方法，但在高中肯定不能直接用
首先你要知道，符合OA垂直于OB的直线AB试过一个顶点的，这个定点就是（P，0）（你也可以证出来）
所以AB恒经过（1，0）
经过（C，0）的直线交Y方=2PX方程弦中点轨迹是Y方=P（X-C）（这个你也可以证）
所以AB中点轨迹方程就是
Y方=X-1
第二问就像我刚才已经说过了（只不过我党结论用了），你可以用反证法，先设AB过顶点（C，0），在连里两个方程，要注意，用韦达定理之后要除以2（因为是中点坐标），最后求出OA垂直于OB（用向量坐标等于0那个），假设成立

收起

楼上的，为什么是
（1，0）？