作业帮求解一道数学定积分题,想知道怎么求得的,就看公式就行了,不要在意文字!这个替换公式怎么换算过来的,没搞懂
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 23:24:44
求解一道数学定积分题,想知道怎么求得的,就看公式就行了,不要在意文字!这个替换公式怎么换算过来的,没搞懂
求解一道数学定积分题,想知道怎么求得的,
就看公式就行了,不要在意文字!这个替换公式怎么换算过来的,没搞懂
求解一道数学定积分题,想知道怎么求得的,就看公式就行了,不要在意文字!这个替换公式怎么换算过来的,没搞懂
这是一个简单的换元法积分
过程稍等
对数的底数是多少？如果是以e为底，则应写成ln；如果是以10为底，则应写成lg；如果不是以10为底，又不是以e为底，则应把底数写出来。
现在我以e为底来作。
求定积分[0，1]∫[4^(2x)]ln(4^x+8)dx
令4^x+8=y，则4^x=y-8，于是d(4^x)=(4^x)ln4dx=dy，故dx=dy/[(4^x)ln4]=dy/[(y-8)ln4]；
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对数的底数是多少？如果是以e为底，则应写成ln；如果是以10为底，则应写成lg；如果不是以10为底，又不是以e为底，则应把底数写出来。
现在我以e为底来作。
求定积分[0，1]∫[4^(2x)]ln(4^x+8)dx
令4^x+8=y，则4^x=y-8，于是d(4^x)=(4^x)ln4dx=dy，故dx=dy/[(4^x)ln4]=dy/[(y-8)ln4]；
4^(2x)=(4^x)²=(y-8)²；x=0时y=9；x=1时y=12；代入原式得：
原式=[9，12]∫(y-8)²(lny)/[(y-8)ln4]dy=[9，12](1/ln4)∫(y-8)(lny)dy=[9，12](1/ln4)[∫ylnydy-8∫lnydy]
=[9，12](1/ln4)[(1/2)∫lnyd(y²)-8(ylny-∫dy)]=[9，12](1/ln4){(1/2)[y²lny-∫ydy]-8(ylny-y)}
=(1/ln4)[(1/2)(y²lny-y²/2)-8(ylny-y)]∣[9，12]
=(1/ln4){[(1/2)lny-(1/4)]y²-8y(lny-1)}∣[9，12]
=(1/ln4){[(1/2)ln12-(1/4)]×144-96(ln12-1)-[(1/2)ln9-(1/4)]×9+72(ln9-1)}
=(-177ln3-2ln2+537/4)/ln4.
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