线代特征值与特征向量证明题不好手打.【对分块矩阵不太了解,一个分块矩阵求行列式的值可以直接用对角线上的矩阵相乘再相减吗】

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 09:50:08

线代特征值与特征向量证明题不好手打.【对分块矩阵不太了解,一个分块矩阵求行列式的值可以直接用对角线上的矩阵相乘再相减吗】
线代特征值与特征向量证明题

不好手打.【对分块矩阵不太了解,一个分块矩阵求行列式的值可以直接用对角线上的矩阵相乘再相减吗】

线代特征值与特征向量证明题不好手打.【对分块矩阵不太了解,一个分块矩阵求行列式的值可以直接用对角线上的矩阵相乘再相减吗】
先约定一下记号:
用'表示转置,Ek表示k阶单位矩阵,不写下标时表示m+n阶单位阵,
矩阵分块表示为[M,N;P,Q],其中M,Q分别为m阶和n阶方阵,
列向量相应分块为[X;Y],其中X,Y分别属于R^m,R^n.
题目叙述为:若对m×n矩阵A,λ为B = [0,A;A',0]的非零特征值,则λ²为A'A的特征值.
证法一:
设Z = [X;Y]是B的属于特征值λ的特征向量,即有BZ = λZ且Z ≠ 0.
由分块乘法知BZ = [0,A;A',0][X;Y] = [AY;A'X].
得AY = λX,A'X = λY,有A'AY = A'(λX) = λA'X = λ²Y.
而若Y = 0,由AY = λX及λ ≠ 0,有X = 0,进而Z = [X;Y] = 0,矛盾.
因此Y ≠ 0,又A'AY = λ²Y,故Y是A'A的特征向量,λ²是A'A的特征值,证毕.
证法二:
设C = λE-B = [λEm,-A;-A',λEn],由λ为B的特征值,有|C| = |λE-B| = 0.
由λ ≠ 0,可取分块初等矩阵S = [Em,0;A'/λ,En].
S作为分块下三角矩阵,可得|S| = |Em|·|En| = 1.
由分块乘法知SC = [λEm,-A;0,λEn-A'A/λ],是分块下三角矩阵.
有|SC| = |λEm|·|λEn-A'A/λ| = λ^(m-n)·|λ²En-A'A|.
另一方面,|SC| = |S|·|C| = |C| = 0,而λ ≠ 0,故|λ²En-A'A| = 0.
即λ²是A'A的特征值,证毕.
注:一般分块矩阵的行列式不能直接分块计算,只能想办法化为分块上(下)三角矩阵来计算.
不过可以证明:若A,B,C,D都是n阶方阵,并满足AC = CA,则|[A,B;C,D]| = |AD-CB|.
证明先从A可逆的情况入手,用分块初等变换化为分块上三角矩阵计算,并用条件AC = CA.
对于A不可逆的情况,先用可逆时的结论证明:
|[A+xE,B;C,D]| = |(A+xE)D-CB|是关于x的恒等式 (左右之差作为关于x的多项式有无穷多个零点),
再取x = 0即得结论 (细节略,有兴趣的话自己证一下).
实际上只需A或D与B或C可交换,就能得到类似的结论,不过形式上稍有区别.
例如AB = BA时成立|[A,B;C,D]| = |DA-CB|.

线代特征值与特征向量证明题不好手打.【对分块矩阵不太了解,一个分块矩阵求行列式的值可以直接用对角线上的矩阵相乘再相减吗】 线代的题目,关于特征向量与特征值的第二问的特征向量不会求 简单的线代证明题设A是n阶方阵,a1,a2分别是属于A的两个不同的特征值x1,x2的特征向量,证明a1+a2不是A的特征向量 线性代数 特征值与特征向量? 特征值与特征向量看不懂 特征值与特征向量 线代……讨论可逆矩阵A与A的逆矩阵的特征值与特征向量的关系. 线代……设A可逆,讨论A与A的伴随矩阵的特征值特征向量之间的关系. 怎么证明啊 特征值 特征向量 大一线代,求特征值和特征向量, 特征值与特征向量证明题1、设ξ1,ξ2都是A的对应于特征值λ的特征向量,证明：kξ1（k≠0)和ξ1+ξ2仍然是A的对应于特征值λ的特征向量.2、设ξ1,ξ2分别是A的对应于不同特征值λ1,λ2的特征向量, 求特征值与特征向量,见图, 不同特征值的特征向量的和一定不是特征向量辨析题 举例证明 关于线性代数中特征值与特征向量的问题一个特征值可是对应有多个特征向量,这些特征向量可能线性无关吗?为什么说当λ是矩阵A的k重特征值时,矩阵A属于λ的线性无关的特征向量的个人不超 一道线代求矩阵特征值与特征向量的题怎么解? 证明题 A是五阶方阵 有五个特征向量 证明它的转置方阵AT也有五个特征向量线代相似矩阵习题 特征向量证明题,如果a是A属于特征值k的特征向量，证明当k为0时，a也是A*的特征向量 线代判断题如果a是方阵A和B共同的特征值,x是A属于a的特征向量,则x也是B属于a的特征向量为什么?