在正方形ABCD中,点P从C出发,沿射线CB运动,连接AP,过点P作EP⊥AP,分别交直线CD、AB于点E、F,证明BP=EC+BF初二上学期以上的方法不要用谢谢
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/07 21:00:10
在正方形ABCD中,点P从C出发,沿射线CB运动,连接AP,过点P作EP⊥AP,分别交直线CD、AB于点E、F,证明BP=EC+BF初二上学期以上的方法不要用谢谢
在正方形ABCD中,点P从C出发,沿射线CB运动,连接AP,过点P作EP⊥AP,分别交直线CD、AB于点E、F,证明BP=EC+BF
初二上学期以上的方法不要用谢谢
在正方形ABCD中,点P从C出发,沿射线CB运动,连接AP,过点P作EP⊥AP,分别交直线CD、AB于点E、F,证明BP=EC+BF初二上学期以上的方法不要用谢谢
求证BP=EC+BF
证明:
∵ABCD为正方形
∴PC+PB=BC=AB
∵AP⊥EF,CB⊥AB
∵在直角三角形PCE和直角三角形PBF中,∠BPF=∠CPE
∴△PFB∽△PEC
∴PB/PC=BF/CE(相似三角形)
∴PC*BF=PB*CE(等式变形)
∵PA⊥EF,PB⊥AB
∴在直角三角形PAF中,PB是斜边AF上的高
∴PB^2=AB*BF=BC*BF=(PB+PC)*BF=PB*BF+PC*BF=PB*BF+PB*CE(由上式推导)=PB*(BF+CE)
∴BP=EC+BF(等式两边同除PB)
当点P在线段BC上时,BP=CE+BF。
过点F作DC的垂直,垂足为M。则四边形BFCM是矩形,FM=BC=AB,CM=BF,角BFM=90度。
所以,角MFE+角AFE=90度。
因为EP⊥AP,所以,角BAP+角AFE=90度,所以,角MFE=角BAP,
又因为 角ABP=角FME=90度,所以,三角形ABP全等于三角形FME,
所以,BP=ME=CM+...
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当点P在线段BC上时,BP=CE+BF。
过点F作DC的垂直,垂足为M。则四边形BFCM是矩形,FM=BC=AB,CM=BF,角BFM=90度。
所以,角MFE+角AFE=90度。
因为EP⊥AP,所以,角BAP+角AFE=90度,所以,角MFE=角BAP,
又因为 角ABP=角FME=90度,所以,三角形ABP全等于三角形FME,
所以,BP=ME=CM+CE=BF+CE。
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