作业帮一道定积分证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 16:10:04
一道定积分证明题
一道定积分证明题
一道定积分证明题
根据定义来做.
将区间〔a,b〕分为等长的n个子区间.设 xi为第i个区间的中点.
设
pi＝f（xi）coskxi,
qi＝f（xi）sinkxi,
ri＝f（xi）．
如果我们能证明下式,两边平方和内配上子区间长度,取极限,则结论成立．
（p1＋．．＋pn）＾2＋（q1＋．．．＋qn）＾2＜＝（r1＋．．．＋rn）＾2
我们知道 pi＾2＋qi＾2 ＝ ri＾2, ri ＞＝ 0
两边展开得：
左边为
pi＾2 对i求和
2pipj 对i,j求和, i＜j．
qi＾2 对i求和
2qiqj 对i,j求和, i＜j．
右边为
ri＾2 对i求和
2rirj 对i,j求和, i＜j．
显然：
pi＾2 对i求和 ＋ qi＾2 对i求和 ＝ ri＾2 对i求和
对剩下的,我们只需证明： 任给 i＜j
pipj＋qiqj＜＝ rirj
如果 ri或 rj为0,结论显然,否则,令
sinA＝ pi／ri,cosA＝qi／ri,
sinB＝pj／rj,cosB＝qj／rj,
则所求证不等式为：
（sinAsinB＋cosAcosB）rirj＜＝rirj
即cos（A－B）＜＝1 ,显然成立.于是原结论成立.