作业帮如图,等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC上一点,若AE=2,则EM+CM最小值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 04:52:06
如图,等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC上一点,若AE=2,则EM+CM最小值为?
如图,等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC上一点,若AE=2,则EM+CM最小值为?
如图,等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC上一点,若AE=2,则EM+CM最小值为?
作E关于AD的对称点F,则F在AB上,连接FC交AD与M,此时的点M即为所求的点
EM+CM的最小值等于FM+MC=FC由余弦定理可知 对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积,若三边为a,b,c 三角为A,B,C ,则满足性质—— a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA
FC的平方等于AF平方加AC平方减2AF乘以ACcosA =4+36-2*2*6*1/2=28
所以最小值为2倍的根号7
经济杯
min(FM+CM)=3倍根号3 理由如下： 因为AD是BC 边上的中线 所以由等边三角形的性质可以证得△BMD≌△CMD 多以CM=BM 所以BF即为最短（两点之间线段最短）（点M在BF与AD的交点上） 因为F为中点 所以AF=3 已知AB=6 等边三角形性质得∠AFB=90° 同时再用勾股定理得出 BF=根号27 ...
全部展开
min(FM+CM)=3倍根号3 理由如下： 因为AD是BC 边上的中线 所以由等边三角形的性质可以证得△BMD≌△CMD 多以CM=BM 所以BF即为最短（两点之间线段最短）（点M在BF与AD的交点上） 因为F为中点 所以AF=3 已知AB=6 等边三角形性质得∠AFB=90° 同时再用勾股定理得出 BF=根号27 化简得 3倍根号3 即为min(FM+CM)的值
注 min为最小值
收起
是文澜学生么。。
在AB上取一点F，使AF＝AE，连CF交AD于一点，这点就是M。下面给出证明：
∵△ABC是等边三角形，BD＝CD，∴∠CAD＝∠BAD，结合AE＝AF，AM＝AM，得：
△AME≌△AMF，∴EM＝FM，∴EM＋CM＝FM＋CM＝CF。
若M为另一点时，CFM就构成的一个三角形，由三角形两边之和大于第三边，
得：FM＋CM＞CF，即：EM＋CM＞CF。
∴...
全部展开
在AB上取一点F，使AF＝AE，连CF交AD于一点，这点就是M。下面给出证明：
∵△ABC是等边三角形，BD＝CD，∴∠CAD＝∠BAD，结合AE＝AF，AM＝AM，得：
△AME≌△AMF，∴EM＝FM，∴EM＋CM＝FM＋CM＝CF。
若M为另一点时，CFM就构成的一个三角形，由三角形两边之和大于第三边，
得：FM＋CM＞CF，即：EM＋CM＞CF。
∴当M为CF与AD的交点时，EM＋CM有最小值。
过C作CG⊥AB交AB于G。
∵△ABC是等边三角形，而CG⊥AB，∴AG＝AB/2＝6/2＝3，又AF＝AE＝2，∴FG＝3－2＝1
容易求出：CG＝3√3。
由勾股定理，得：
CF＝√（CG^2＋FG^2）＝√（27＋1）＝2√7，即：EM＋CM的最小值为2√7。
注：这是在定直线AD上求一点M，使点M到AD一侧的两定点C、E的距离之和为最小值的问题。
这类问题的解决通法是：
作其中一个定点关于定直线的对称点，然后连结该对称点与另一定点交定直线于一点，这一 点就是所要求的点。
收起