作业帮求高手教我怎么用柯西中值定理百度百科上的看了不是很理解 很能不能讲详细点 最好有解极值问题的例题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 06:32:13
求高手教我怎么用柯西中值定理百度百科上的看了不是很理解 很能不能讲详细点 最好有解极值问题的例题
求高手教我怎么用柯西中值定理
百度百科上的看了不是很理解 很能不能讲详细点 最好有解极值问题的例题
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虽然说Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广,可是你观察它们的最常见证明方法可以发现,它们都可以通过Rolle定理独立证明,不过是构造的辅助函数不同而已.而事实上,用Lagrange中值定理显然可以推出Rolle定理.可以归结出这样的推导关系：Rolle定理→Cauchy中值定理（Lagrange中值定理）→Lagrange中值定理→Rolle定理.因此它们在逻辑上是等价的,不过用于解决问题时的简繁程度不同.你要相信,所有用Cauchy中值定理可以解决的问题,用Rolle定理也可以解决,不过思路可能复杂一些.
如,设b＞a＞0,f(x)在[a,b]连续、(a,b)可导,证明有c∈(a,b),使得2c[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(c).
证：参考Cauchy中值定理的标准形式,令g(x)=x^2即可.注意这里b＞a＞0保证了g’(x)＝2x≠0以及b^2-a^2≠0.
上面这道题当然非常简单（就是直接套公式）.它还可以通过构造函数F(x)=(b^2-a^2)f(x)-[f(b)-f(a)]x^2来证明.这时F(a)=f(a)b^2-f(b)a^2=h(b),那么由Rolle定理知存在c∈(a,b)使得h’(c)=0,这就是要证明的.这个解法不过是套用了Cauchy中值定理证明过程.
公式的作用就是节省人们的思考或计算的时间,但这需要对公式熟练运用.最重要的是观察.像上面这道简单的例题一类的存在性问题,很容易看出端倪的,关键就在于观察哪个东西跟公式里的g(x)比较像（看g(x)和g’(x)）.常见的函数,lnx,e^(x)甚至e^(h(x))等.另外,有可能一些不等式问题的中间过程要用到Cauchy中值定理（之后进行一定程度的放缩）,你应该可以想到.至于你提到的极值问题,
微分中值定理（Lagrange、Cauchy）对于一元微分学体系的发展和完善有重要的意义,其意义是理论上的.平时题目考察的只是对公式的变形使用.两个词,观察和熟练度.我认为你看一看【用Cauchy中值定理证明洛必达法则】的过程会对理解有帮助.我觉得这是Cauchy中值定理除了几何解释外另一个很美妙的地方.