已知A,B是抛物线y^2=4x上的两点,O为坐标原点,OA垂直OB,求证A,B两点的纵坐标之积为常数.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 03:03:38

已知A,B是抛物线y^2=4x上的两点,O为坐标原点,OA垂直OB,求证A,B两点的纵坐标之积为常数.
已知A,B是抛物线y^2=4x上的两点,O为坐标原点,OA垂直OB,求证A,B两点的纵坐标之积为常数.

已知A,B是抛物线y^2=4x上的两点,O为坐标原点,OA垂直OB,求证A,B两点的纵坐标之积为常数.
设A（x1,y1),B(x2,y2),
因OA垂直OB,A、B两点不可能同在一个象限内,若在同在一个象限内则OA和OB夹角小于90度,
只可能在不同的一、四象限,
故A、B两点纵坐标符号相反,
向量OA=（x1,y1),向量OB（x2,y2),
这里设A在第一象限,则B在第四象限,
y1=2√x1,y2=-2√x2,
向量OA⊥OB,
则向量OA·OB=0,
x1*x2+y1*y2=0
x1*x2+2√x1*（-2√x2）=0,
√(x1x2)(√(x1x2)-4)=0,
只有在顶点时为0,故x1和 x2均不为0,
则只有√(x1x2)-4=0,√(x1x2)=4,x1x2=16,
y1=2√x1,y2=-2√x2,
y1*y2=-4√(x1*x2)=-4√16=-16,
故A、B两点纵坐标之积为-16为常数.
或者:向量OA⊥OB,
则向量OA·OB=0,
x1*x2+y1*y2=0,
x1=y1^2/4,x2=y2^2/4,
y1^2*y2^2/16+y1*y2=0,
而y1 y2均不为0,
y1*y2/16=-1,
y1*y2=-16,
故A、B两点纵坐标之积为-16为常数.

设a(y1*y1/4,y1),b(y2*y2/4,y2),y1,y2均不为0。由题意得oa.ob=y1y2(y1y2+4)/4=0,y1y2=4

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