作业帮从1到1000的整数中任取三个数从1到1000中任取三个数,有序三组数（x,y,z）,求x^2+y^2+z^2被7整除的有序三组数（x,y,z）的组数（x,y,z可以相等）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 02:47:58
从1到1000的整数中任取三个数从1到1000中任取三个数,有序三组数（x,y,z）,求x^2+y^2+z^2被7整除的有序三组数（x,y,z）的组数（x,y,z可以相等）
从1到1000的整数中任取三个数
从1到1000中任取三个数,有序三组数（x,y,z）,求x^2+y^2+z^2被7整除的有序三组数（x,y,z）的组数（x,y,z可以相等）
从1到1000的整数中任取三个数从1到1000中任取三个数,有序三组数（x,y,z）,求x^2+y^2+z^2被7整除的有序三组数（x,y,z）的组数（x,y,z可以相等）
142^3+6*286^3.
任意整数x,x^2用7除余数只能是0,1,2,4,且x用7除余数为0,则x^2用7除余数也为0,x用7除余数为1,6,则x^2用7除余数为1,x用7除余数为3,4,则x^2用7除余数为2,x用7除余数为2,5,则x^2用7除余数为4,按x^2用7除所得余数将1-1000中的数分为如下4类:
用7除余0的数记为A类,用7除余1,6的数记为B类,用7除余3,4的数记为C类,用7除余2,5的数记为D类,则每类的个数如下:
A类共有[1000/7]=142,B类共有143+143=286,C类共有143+143=286,D类共有143+143=286.
x^2+y^2+z^2被7整除,则x,y,z有如下几种取法:
(1)x,y,z均取A类,共有142^3,(x,y,z每个数均有142种选择).
(2)x,y,z分别取A,B,C类,共有6*286^3(x,y,z每个数均有142种选择,另外选取的3个数任意全排列也是符号条件的选择,故乘以6),
故x^2+y^2+z^2能被7整除的有序三组数（x,y,z）的组数为
142^3+6*286^3.
一个数的平方除以7的余数依次为1、4、2、2、4、1、0的循环
开始的7个数中有2个数的平方被7除后的余数分别为1、2、4
1000/7=142...6
设4个组A、B、C、D，分别放余数为1、2、4、0的数
则A、B、C中的数字各有142*2+2=286个，D中有142个
能被7整除的为A、B、C中各取一个，或D中取3个
A、B、C中各取一个，有2...
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一个数的平方除以7的余数依次为1、4、2、2、4、1、0的循环
开始的7个数中有2个数的平方被7除后的余数分别为1、2、4
1000/7=142...6
设4个组A、B、C、D，分别放余数为1、2、4、0的数
则A、B、C中的数字各有142*2+2=286个，D中有142个
能被7整除的为A、B、C中各取一个，或D中取3个
A、B、C中各取一个，有286*286*286个
D中取3个，为142*142*142（因为三个数字可以相等，意味着可以重复）
一共有
286^3+142^3=26256944(种）
收起
好难！！