证明更相减损术?从数论上说

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/09 10:36:36

证明更相减损术?从数论上说
证明更相减损术?
从数论上说

证明更相减损术?从数论上说
更相减损术的原理：
(a,b)=(a-b,b)
这里将gcd(a,b)简记为(a,b).
更相减损术是辗转相除法（欧几里德算法,Euclid algorithm）的一个特例,
它的原理是(a,b)=(a-nb,b)
下面我们来证明：(a,b)=(a-nb,b)
证：不妨设d是a,b的最大公因子.
即a=rd,b=sd,并且
其中(r,s)=1,即存在x,y,使得xr+ys=1.
从而
a-nb=(r-ns)d,b=sd,且x(r-ns)+(xn+y)s=xr+ys=1,即(r-ns,s)=1
于是:d=(a-nb,b)
于是得证.
另请参见：
百度百科-euclid算法

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