n的阶乘的n次方根的极限是多少?怎么求的?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 14:01:34

n的阶乘的n次方根的极限是多少?怎么求的?
n的阶乘的n次方根的极限是多少?怎么求的?

n的阶乘的n次方根的极限是多少?怎么求的?

红色公式称为斯特林公式,在级数部分非常有用的一个公式.

极限是+∞
(1)证明对任意正数a，limn!/a^n=+∞
只考虑a>1的情况，存在正整数N1>a
任意正数M，存在正整数N2使得N2>Ma*a^N1/N1!
取N=max{N1,N2}，则当n>N时，n!/a^n=N1!/a^N1*(N1+1)*(N1+2)*...*n/(a*a*...*a)>N1!/a^N1*n/a>N1!/a^N1*Ma*a^N1/N1!*...

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极限是+∞
(1)证明对任意正数a，limn!/a^n=+∞
只考虑a>1的情况，存在正整数N1>a
任意正数M，存在正整数N2使得N2>Ma*a^N1/N1!
取N=max{N1,N2}，则当n>N时，n!/a^n=N1!/a^N1*(N1+1)*(N1+2)*...*n/(a*a*...*a)>N1!/a^N1*n/a>N1!/a^N1*Ma*a^N1/N1!*1/a=M
所以limn!/a^n=+∞
(2)对任意正数M，因为limn!/M^n=+∞，所以存在正整数N使得当n>N时n!/M^n>1
即(n!)^(1/n)>M，所以极限为+∞

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