(1)平方数25有种特性,把它的每位数都加 1之后成为36,还是一个平方数.只有一个四位数的平方数具有相同的特性,请问它是多少?(2)一个二位数ab,它的平方与ba的平方的差也是一个平方数.请问这

(1)平方数25有种特性,把它的每位数都加 1之后成为36,还是一个平方数.只有一个四位数的平方数具有相同的特性,请问它是多少?(2)一个二位数ab,它的平方与ba的平方的差也是一个平方数.请问这
(1)平方数25有种特性,把它的每位数都加 1之后成为36,还是一个平方数.只有一个四位数的平方数具有相同的特性,请问它是多少?
(2)一个二位数ab,它的平方与ba的平方的差也是一个平方数.请问这个数字是多少?
(3)两个平方数的和与另两个平方数和的乘积,一定是两个平方数的和.例如：
(12＋22)×(22＋32)＝65＝42＋72
请问这个叙述是否正确?

(1)平方数25有种特性,把它的每位数都加 1之后成为36,还是一个平方数.只有一个四位数的平方数具有相同的特性,请问它是多少?(2)一个二位数ab,它的平方与ba的平方的差也是一个平方数.请问这
1) 设 (ab)^2=ABCD
(xy)^2=ABCD+1111
(xy)^2-(ab)^2=1111
(xy-ab)(xy+ab)=1111
11(ab+11+ab)=1111
2ab+11=101
2ab=90
ab=45
所以45平方=2025
2025→3136=56^2
2) (xy)^2 = (ab)^2-(ba)^2
(xy)^2 = (10a+b)^2-(10b+a)^2
= (10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a)
= 9(a-b)*11(a+b)
=9*11(a^2-b^2)
因为是平方数,所以 9可以不用理
11是质数所以(a^2-b^2)也会等于11
所以9*11*11=1089=33^2
3) 不是很明白,12,22,32是平方数?

1) 设 (ab)^2=ABCD
(xy)^2=ABCD+1111
(xy)^2-(ab)^2=1111
(xy-ab)(xy+ab)=1111
11(ab+11+ab)=1111
2ab+11=101
2ab=90
ab=45

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1) 设 (ab)^2=ABCD
(xy)^2=ABCD+1111
(xy)^2-(ab)^2=1111
(xy-ab)(xy+ab)=1111
11(ab+11+ab)=1111
2ab+11=101
2ab=90
ab=45
所以45平方=2025
2025→3136=56^2
2) (xy)^2 = (ab)^2-(ba)^2
(xy)^2 = (10a+b)^2-(10b+a)^2
= (10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a)
= 9(a-b)*11(a+b)
=9*11(a^2-b^2)
因为是平方数，所以 9可以不用理
11是质数所以(a^2-b^2)也会等于11
所以9*11*11=1089=33^2
(3)前面四个数是a,b,c,d
所以（a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2*c^2+a^2*d^2+b^2*c^2+b^2*d^2=
a^2*c^2+b^2*d^2+a^2*d^2+b^2*c^2
=a^2*c^2+b^2*d^2+2abcd+a^2*d^2+b^2*c^2-2abcd
=(ac+bd)^2(ad-bc)^2
所以成立

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1.
设该四位数为a^2,则由题意，应该有一个平方数b^2,满足下式:
b^2-a^2=1111,
由平方差公式知，(b+a)(b-a)=1111, （#式）
因为a^2、b^2都是四位数，所以a、b只能是两位数，a+b只能是比较大的两位数或三位数。
对1111分解质因数：
1111＝101*11
所以，结合（#式)看出，b+a=101，...

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1.
设该四位数为a^2,则由题意，应该有一个平方数b^2,满足下式:
b^2-a^2=1111,
由平方差公式知，(b+a)(b-a)=1111, （#式）
因为a^2、b^2都是四位数，所以a、b只能是两位数，a+b只能是比较大的两位数或三位数。
对1111分解质因数：
1111＝101*11
所以，结合（#式)看出，b+a=101，且b-a=11,
所以，a=45,b=56.
所以，所求的四位数为a^2=45^2=2025，
它加上1111后的数为b^2=56^2=3136
2.
由题意有，(10a+b)^2-(10b+a)^2=x^2，这里x是一个整数。
由平方差公式，上式可化为
(10a+b+10b+a)*(10a+b-10b-a)=x^2，即
11(a+b)*[9(a-b)]=x^2,
99(a+b)(a-b)=x^2, （#式）
我们来分析上面的（#式）。
因为左边三个因式的乘积等于一个平方数，所以所有的因子都应该是<成对出现>的（比如2*2，3*3，而不可能只有一个2或一个3）。
而99=3^2*11，
缺一个因子11，这说明另外的乘式(a+b)(a-b)里面肯定有一个式子含有因子11。
考虑到a,b都是一位数，a+b不超过18，a-b不超过9，所以含因子11的式子应该是a+b,而且a+b=11.
这时(#式)变成了(3^2)*(11^2)*(a-b)=x^2,
所以(a-b)必须是一个平方数，在1~9的数里只有0，1，4，9.
经过检验，只有a-b=1,a+b=11才成立，也就是说
a=6，b=5.
答：所求的数字是65。
3.
要解决的判断是：
(a^2+b^2)*(c^2+d^2)=?=(e^2+f^2) (#式)
将式子左边展开，得
a^2*c^2+a^2*d^2+b^2*c^2+b^2*d^2，化简，
(a*c)^2+(a*d)^2+(b*c)^2+(b*d)^2，
简写成(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2，
引入两个一正一负的2abcd(即2*a*b*c*d)，并与之组合成完全平方公式，
[(ac)^2+2abcd+(bd)^2]+[(bc)^2-2abcd+(ad)^2]，
(ac+bd)^2+(bc-ad)^2，得到这个。这正好是两个平方数的和。
也就是说，通过上面过程，我们证明了
（#式）左边＝(ac+bd)^2+(bc-ad)^2＝e^2+f^2＝右边。
答：这个叙述是正确的。

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