若a,b∈0,+∞)且a+2b=1,则1/a^2+1/4b^2的最小值为求详解

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 19:58:27

若a,b∈0,+∞)且a+2b=1,则1/a^2+1/4b^2的最小值为求详解
若a,b∈0,+∞)且a+2b=1,则1/a^2+1/4b^2的最小值为
求详解

若a,b∈0,+∞)且a+2b=1,则1/a^2+1/4b^2的最小值为求详解
a,b均为正数,且a+2b=1.
【1】
由题设及基本不等式可得
1=a+2b≥2√(2ab)
等号仅当a=1/2,b=1/4时取得.
∴恒有2√(2ab)≤1
∴恒有:1/(2ab)≥4.
∴式子:{[1/(2ab)]-1}²-1≥8
即在题设条件下,式子{[1/(2ab)]-1}²-1的最小值=8
【2】
在题设条件a+2b=1下,
原式=(a²+4b²)/(4a²b²)
=[(a+2b)²-4ab]/(4a²b²)
=(1-4ab)/(4a²b²)
=[1/(2ab)]²-2[1/(2ab)]
={[1/(2ab)]-1}²-1.
∴原式≥8
∴原式的最小值=8