线性代数的证明题设n阶矩阵A=(aij)的特征值为 λ1, λ2, …… λn,证明：(1)λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann;(2)λ1 •λ2 •…•λn＝｜A｜.没有，书上没有给出证明，所以我才

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/08 02:51:39

线性代数的证明题设n阶矩阵A=(aij)的特征值为 λ1, λ2, …… λn,证明：(1)λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann;(2)λ1 •λ2 •…•λn＝｜A｜.没有，书上没有给出证明，所以我才
线性代数的证明题
设n阶矩阵A=(aij)的特征值为 λ1, λ2, …… λn,证明：
(1)λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann;
(2)λ1 •λ2 •…•λn＝｜A｜.
没有，书上没有给出证明，所以我才来提问的

线性代数的证明题设n阶矩阵A=(aij)的特征值为 λ1, λ2, …… λn,证明：(1)λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann;(2)λ1 •λ2 •…•λn＝｜A｜.没有，书上没有给出证明，所以我才
特征方程|λEn-A|=0的根为λ1, λ2, … λn
则|λEn-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)=λ^n-(∑λi)λ^(n-1)+…+(-1)^n(∏λi)
取λ=0,即得|-A|=(-1)^n(∏λi)
因而|A|=∏λi,即λ1 •λ2 •…•λn＝｜A｜
再根据行列式定义可得,
|λEn-A|=(λ-a11)(λ-a22)…(λ-ann)+{(n!-1)个不含λ^n和λ^(n-1)的项}
=λ^n-(∑aii)λ^(n-1)+…+{(n!-1)个不含λ^n和λ^(n-1)的项}
比较上面两个|λEn-A|的两个展开式中λ^(n-1)的系数,即得
λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann

你疯了吧，书上有的，这个谁能证明，谁NB

全部展开

考虑矩阵A的特征多项式｜λE-A｜，这是一个行列式，其中不在主对角线上的元素为-aij,(i≠j)，在主对角线上的元素为λ-aij,(i=j)
其展开式中，主对角线上的元素乘积为(λ-a11)(λ-a22)…(λ-ann)
展开式中其余各项至少包含n-2个主对角线上的元素，因此关于λ的次数最多是n-2。所以特征多项式中含有λ^n和λ^(n-1)的项只能出现在主对角元素的连成积中，它们是λ^n-(a11+a22+…+ann)λ^(n-1)
而在特征多项式中，只需令λ=0即得常数项为｜-A｜=[(-1)^n]｜A｜
因此A的特征多项式必定形如
f(λ)=λ^n-(a11+a22+…+ann)λ^(n-1)+…+[(-1)^n]｜A｜
现设A的n个特征的多项式值为λ1, λ2, …… λn，根据n次多项式根与系数的关系
λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann，λ1λ2…λn＝｜A｜
由此还可以得到A有零特征根的充分必要条件为｜A｜=0，即A不可逆
这道题是一道比较抽象的证明题，在不知如何如手时可以先将已知条件表示成数学表达式，然后看看结论需要什么样的表达式，两头推理，这样有助于找到思路

收起

设n阶矩阵A=(aij),其中aij=|i-j|,求|A|线性代数~ 几题大学线性代数的计算,证明题1.已知实矩阵A=（aij）3*3满足条件aij=Aij（i,j=1,2,3）,其中Aij是aij的代数余子式,且a11≠0,计算行列式A的值.2.设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,若A*=AT,证明行列式A 设A=(aij)和B=(bij)是n*n的n阶正定矩阵,证明：矩阵C=(aijbij)这个n*n的矩阵也是正定矩阵.会追加1-2倍的设A=(aij)和B=(bij)是n*n的n阶正定矩阵,证明：矩阵C=(aijbij)这个n*n的矩阵也是正定矩阵. 一道二次型线性代数题设实对称矩阵A=(aij)n×n是正定矩阵,b1,b2…,bn是任意n个非零实数,证明：B=(aijbibj)n×n也是正定矩阵设A=(aij)nxn是正交矩阵,且A的行列式大于零,Aij是aij的代数余子式(i,j=1,2,.n),证明:Aij=aij,i,j=1,2,设A=(aij)nxn是正交矩阵,且A的行列式大于零,Aij是aij的代数余子式(i,j=1,2,.n),证明:Aij=aij,i,j=1,2,.,n 设A=(aij)mn是正交矩阵,且A的行列式大于零,Aij是aij的代数余子式（i,j=1,2….,n）,证明：Aij=aij,i 设A=(aij)n×n是上三角矩阵,A的主对角线元相等,且至少有一个元素aij≠0,证明A不能 .设A=(aij)n×n是上三角矩阵,A的主对角线元相等,且至少有一个元素aij≠0,证明A不能与对角矩阵相似线性代数证明题设n阶方阵A满足A*(A的的转置矩阵)=E,切|A| 线性代数：设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：若|A|=0,则|A*|=0 线性代数的证明题设n阶矩阵A=(aij)的特征值为 λ1, λ2, …… λn,证明：(1)λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann;(2)λ1 •λ2 •…•λn＝｜A｜.没有，书上没有给出证明，所以我才设A为n阶矩阵,证明r(A^n)=r(A^(n+1))线性代数证明,如果n阶实对称矩阵A=(aij)n*n是正定的,则aii>0 设n阶矩阵A,E为n阶单位阵,证明:R(A)+R(A-E)>=n线性代数的题设A=(aij)为n阶矩阵,试分别求出A的平方,AAT,ATA的（k,l)元素设A=(aij)3*3为非零实矩阵,aij=Aij,Aij 是行列式|A|中元素aij的代数余子式,则行列式|A| 线性代数证明题：一、设A,B均为n阶矩阵,切A的平方—2AB=E.证明AB-BA+A可逆证明线性代数线性相关（6）设 A 是 n 阶可逆矩阵,A*是 A 的伴随矩阵,证明（A*)^(-1)=(A^(-1))* 线性代数中关于正定矩阵的一道题设A是n阶实对称矩阵,AB+B的转置乘A是正定矩阵,证明A可逆.