解析函数的起源

解析函数的起源
解析函数的起源

解析函数的起源
一、函数的起源﹙产生﹚
十六、十七世纪,欧洲资本主义国家先后兴起,为了争夺霸权,迫切需要发展航海和军火工业.为了发展航海事业,就需要确定船只在大海中的位置,在地球上的经纬度；要打仗,也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题, 这就促使了人们对各种“运动”的研究,对各种运动中的数量关系进行研究,这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础.
十七世纪中叶,笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念,制定了解析几何学,从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来,牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说.这期间,随着数学内容的丰富,各种具体的函数已大量出现,但函数还未被给出一个一般的定义.牛顿于 1665年开始研究微积分之后,一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系.
1673年,莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词,他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量.（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”.例如,切线,弦,法线等长度和横、纵坐标,后来,又用这个名词表示幂,即表示 x , x2, x3,….显然,“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的.
人们是不会满足于这样不准确的概念,数学家们纷纷对函数进行进一步讨论.
二、函数概念的发展与完善
⒈以“变量”为基础的函数概念
在 1718年,瑞士科学家,莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式.（定义2）并在此给出了函数的记号φx.这一定义使得函数第一次有了解析意义.
十八世纪中叶,著名的数学家达朗贝尔 （D’Alembert）和欧拉（ Euler）在研究弦振动时,感到有必要给出函数的一般定义.达朗贝尔认为函数是指任意的解析式,在 1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线.（定义 3）在此之前的 1734年,欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今.
实际上,这两种定义（定义 1和定义 2）就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法.后来,由于富里埃级数的出现,沟通了解析式与曲线间的联系,但是用解析式来定义函数,显然是片面的,因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数.
1775年,欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量,以这样一种方式依赖与另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之而变化,则将前面的变量称为后面变量的函数.（定义 4）这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素,体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提到两个变量之间的对应关系,因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征,只是科学的定义函数概念的“雏形”.
函数是从研究物体运动而引出的一个概念,因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系,如自由落体运动下降的路程,单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数.很明显,只从运动中变量“变化”观点来理解函数,对函数概念的了解就有一定的局限性.如对常值函数 ,不好解释.
十九世纪初,拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量,前者就是后者的函数. 1834年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义： x的函数是这样的一个数,它对于每一个 x都有确定的值,并且随着 x一起变化,函数值可以由解析式给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法,函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的.（定义 5）这实际是“列表定义”,好像有一个“表格”,其中一栏是 x值,另一栏是与它相对应的 y值.这个定义指出了对应关系（条件）的必要性,把函数的“对应”思想表现出来,而“对应”概念正是函数概念的本质与核心.
十九世纪法国数学家柯西（ Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量,一个变量的数值可以在某一范围内任意变化,这样的变量叫做自变量,另一个变量的数值随着自变量的数值而变化,这个变量称为因变量,并且称因变量为自变量的函数.（定义 6）
1829年 ,狄利克雷（ Dirichlet）给出了所谓狄利克雷函数： y=1 当 x为有理数时； y=0 当 x为无理数时.这个函数并不复杂,但不能用解析式来表示,这一思想的提出,正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端. 1837年他对函数下的定义是：在某个变化过程中,有两个变量 x和 y.如果对于 x在某一范围内的每一个确定的值,按照某个对应关系, y都有唯一确定值和它对应,则 y称为 x的函数； x称为自变量.（定义 7）这个定义的优点是直截了当地强调与突出了“对应”关系,抓住了概念的本质属性,只须有一个法则存在,使得这个函数定义域中的每一个值有一个确定的 y值和它对应就行了,不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式;其缺点是把生动的函数变化思想省略和简化掉了.
⒉以“集合”为基础的函数概念
函数的概念是随着数学的发展而发展的.函数的定义在数学的发展过程中,不断的改进,不断的抽象,不断的完善.十九世纪七十年代,德国数学家康托（ G.Cantor）提出了集合论.进入二十世纪后,伴随着集合论的发展,函数的概念也取得了新的进展,它终于摆脱了数域的束缚向更广阔的研究领域扩大,使概念获得了现代化.
二十世纪初美国数学家维布伦（ Weblan）给出了函数的如下定义：若在变量 y的集合与另一变量 x的集合之间,有这样的关系成立,即对 x的每一个值,有完全确定的 y值与之对应,则称 y是变量 x的函数.（定义 8）从这个定义开始,函数概念已把基础建立在集合上面,而前七个定义则是把基础建立在变量（数）上的.
随着时间的推移,函数便被明确的定义为集合之间的对应关系,其定义是： A和 B是两个集合,如果按照某种对应关系,使 A的任何一个元素在 B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应关系成为从集合 A到集合 B的函数.（定义 9）此定义根据映射的概念,用“映射”观点建立函数概念,其又可叙述为：从集合 A到集合 B的映射 f： A→ B称为集合 A到集合 B的函数,简称函数 f .（定义 10）以上三个定义,已打破数域的束缚,将集合中的元素改为抽象的,可以是数,也可以不是数,而是其它一切有形或无形的东西,如 X是所有三角形的集合, Y是所有圆的集合,则 f 可以是把每一个三角形映射成它的外接圆的映射.
对新函数定义可以这样理函数是一个对应（规则）,对于某一范围（集合）的元素,按照这个对应（规则）确定另一个元素.这样函数概念从狭义的“变化”观点转化到较广义的“对应”观点,函数即是一个对应（规则）.
对函数概念用“对应”（“规则”）来理解比起最初阶段虽然揭示出了函数概念的实质,但它还不符合我们最低限度地使用未被定义的术语的意图.因为什么叫“对应”和怎样理解“规则”还需要定义,例如规则不同,那么是否函数也不同呢?如f(x)=x与f(x)=(1+x)-1当然是不同的规则但却定义了同一函数.
为了解决这一矛盾,二十世纪初,特别是在六十年代以后,广泛采用只涉及“集合”这一概念的函数定义,而集合作为原始概念是不予定义的,这样的定义是：设 A、 B是任意两个集合, f是笛卡儿集 A× B的一个子集,满足：①对任意的 a ∈ A,存在一个 b∈B,使得 (a,b)∈ f,②若 (a,b)∈ f, (a,c)∈ f则 b=c.则称 f为 A到 B的一个函数.记作 f:A→B.（定义11）这个定义利用“关系”这个概念,便给出了只涉及原始概念“集合”的函数的一般定义,即不需要用到“对应”,又避免了对“规则”的解释,只要集合理论适用一切数学领域,这样给出的函数定义总是适用的.它可称的上是最现代的定义了.
到此,“函数”最完善的定义（定义 11）已给出,作为数学中最基本的概念之一,已把基础直接建立在集合上面,即把函数看作是从一个集合到另一个集合的对应,它和“映射”实际上是一回事.
三、新旧两种定义的比较
比较新定义（把以集合为基础的函数定义称为新的定义方式,而以变量（数）为基础的定义称为旧的定义方式.）和旧定义,它们之间有两个重要的区别：
⑴旧定义是建立在“变量”这个基本概念上的,而新定义则建立在“集合”这个基本概念上.什么是变量呢?通常把它理解为在选定一个单位以后,可加以度量的东西,如长度、质量、时间之类,这种理解一方面太疏于笼统,只能通过举例来说明,而难于加以精确化；另一方面,由于涉及大小关系,嫌过于狭窄,无法体现应用上的普遍性.其次,即使什么是“量”的问题不存在,作为变量,它须在某一范围取值（不一定是数值）,这一定范围实际上就是事先得假定的一个集合 A（它构成函数的定义域）,所谓“变量取值 a”,实质上就是“ a属于 A”的一种变相迂回的说法.可见,在变量的概念中已蕴含集合的思想.
⑵旧定义中以“因变量”为函数,而新定义中则以“对应关系”为函数.函数概念的实质,主要的并不是因变量要随自便量“变”,而是两集合之间存在某种确定的对应关系.显然,新定义更能直接地揭示出函数的实质.

一、函数的起源（产生） 十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学