用数学归纳法证x^2n-y^2n,能被X+Y整除

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 18:43:03

用数学归纳法证x^2n-y^2n,能被X+Y整除
用数学归纳法证x^2n-y^2n,能被X+Y整除

用数学归纳法证x^2n-y^2n,能被X+Y整除
n=1时
x^2n-y^2n=x^2-y^2=(x+y)(x-y)
能被X+Y整除
设n≤k时,x^2n-y^2n,能被X+Y整除
n=k+1时
x^2n-y^2n=x^(2k+2)-y^(2k+2)
=(x^2k-y^2k)(x^2+y^2)-x^2ky^2+x^2y^2k
=(x^2k-y^2k)(x^2+y^2)-x^2y^2(x^(2k-2)-y^(2k-2))
因为n≤k时,x^2n-y^2n,能被X+Y整除
所以,(x^2k-y^2k)和(x^(2k-2)-y^(2k-2))都能被X+Y整除
所以,
^2n-y^2n=(x^2k-y^2k)(x^2+y^2)-x^2y^2(x^(2k-2)-y^(2k-2))
能被X+Y整除

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