证明x*x+y*y=z*z有正整数解,即存在自然数满足x*x+y*y=z*z.特别申明要用数论推理来证明,不是举例

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/07 22:51:37

证明x*x+y*y=z*z有正整数解,即存在自然数满足x*x+y*y=z*z.特别申明要用数论推理来证明,不是举例
证明x*x+y*y=z*z有正整数解,即存在自然数满足x*x+y*y=z*z.特别申明要用数论推理来证明,不是举例

证明x*x+y*y=z*z有正整数解,即存在自然数满足x*x+y*y=z*z.特别申明要用数论推理来证明,不是举例
已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数,求a,b,c满足的条件.
　　
　　结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出.
　　结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）
　　从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质,令X=c+b,Y=c-b
　　所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）
　　首先将Y做分解,设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）
　　又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）
　　比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子,否则与（4）中的最大平方数矛盾.
　　同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6）,X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
　　将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'为不相同素数的乘积） （7）
　　根据（7）知n*n'仍然为平方数,又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明,比较简单）
　　可知a=m'*m*n
　　c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
　　b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
　　a=m*n*m'

xx=a
yy=b
zz=c
1/ab+1/bc+1/ac=1
不妨设
a>=b>=c
3/cc>=1/ab+1/bc+1/ac=1
cc<=3
c=zz是整数
c=1
1/ab+1/b+1/a=1
a>=b
1＋a+b＝ab
1＋b=a(1-b)>=b(b-1)
b=yy正是整数
b=1,2
b=yy完全平方
b=1
2＋a=2a
a=2
a=xx矛盾
无解

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