作业帮Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A,B的一点,且∠ACB=30°,则PB长为?3分之4倍根3 3分之8倍根3 4 一共三个答案,但是我不会做.那位会,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 00:16:55
Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A,B的一点,且∠ACB=30°,则PB长为?3分之4倍根3 3分之8倍根3 4 一共三个答案,但是我不会做.那位会,
Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A,B的一点,且∠ACB=30°,则PB长为?3分之4倍根3 3分之8倍根3 4 一共三个答案,但是我不会做.那位会,
Rt△ABC中,∠A=90°,BC=4,有一个内角为60°,点P是直线AB上不同于A,B的一点,且∠ACB=30°,则PB长为?3分之4倍根3 3分之8倍根3 4 一共三个答案,但是我不会做.那位会,
这道题的考点是：含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题：分类讨论．
分析：分两种情况考虑：当∠ABC=60°时,如图所示,由∠ABC=60°,利用直角三角形的两锐角互余求出∠CAB=30°,又∠PCA=30°,由∠PCA+∠ACB求出∠PCB为60°,可得出三角形PCB为等边三角形,根据等边三角形的三边相等,由BC的长即可求出PB的长；当∠ABC=30°时,再分两种情况：（i）P在A的右边时,如图所示,由∠PCA=30°,∠ACB=60°,根据∠PCA+∠ACB求出∠PCB为直角,由∠ABC=30°及BC的长,利用锐角三角形函数定义及cos30°的值,即可求出PB的长；当P在A的左边时,如图所示,由∠PCA=30°,∠ACB=60°,根据∠ACB-∠ACP求出∠PCB为30°,得到∠PCB=∠ABC,利用等角对等边得到PC=PB,由BC及∠ABC=30°,利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长,再利用勾股定理求出AB的长,由AB-BP表示出AP,在直角三角形ACP中,利用勾股定理列出关于PB的方程,求出方程的解得到PB的长,综上,得到所有满足题意的PB的长．
分两种情况考虑：
当∠ABC=60°时,如图所示：
∵∠CAB=90°,
∴∠BCA=30°,又∠PCA=30°,
∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°,又∠ABC=60°,
∴△PCB为等边三角形,又BC=4,
∴PB=4；
当∠ABC=30°时,如图所示：
（i）当P在A的左边时,如图所示：
∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,
∴∠PCB=90°,
又∠B=30°,BC=4,
∴cosB=BC/PB,即cos30°=4/PB,
解得：PB=4/（√3 / 2）=（8√3）/3；
（ii）当P在A的右边时,如图所示：
∵∠PCA=30°,∠ACB=60°,
∴∠BCP=30°,又∠B=30°,
∴∠BCP=∠B,
∴CP=BP,
在Rt△ABC中,∠B=30°,BC=4,
∴AC=1/2BC=2,
根据勾股定理得：√AB=√（BC²-AC²）=2√3,
∴AP=AB-PB=2√3-PB,
在Rt△APC中,根据勾股定理得：AC²+AP²=CP²=BP²,
∴2²+（2√3-BP）²=BP²,
解得：BP=（4√3）/3,
综上,BP的长分别为4或433或833．
故答案为：4或（4√3）/3或（8√3）/3
点评：此题考查了含30°直角三角形的性质,勾股定理,等边三角形的判定与性质,以及锐角三角函数定义,利用了转化及分类讨论的数学思想,熟练掌握性质及定理是解本题的关键．