奇函数f(x)=(ax+b)除以(1+x²)的定义域为(负一,一)且f(二分之一)=五分之二.(1)求a,b的值(2)是判断并证明f(x)在(负一,一)上有单调性.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/01 05:43:23
奇函数f(x)=(ax+b)除以(1+x²)的定义域为(负一,一)且f(二分之一)=五分之二.(1)求a,b的值(2)是判断并证明f(x)在(负一,一)上有单调性.
奇函数f(x)=(ax+b)除以(1+x²)的定义域为(负一,一)且f(二分之一)=五分之二.
(1)求a,b的值
(2)是判断并证明f(x)在(负一,一)上有单调性.
奇函数f(x)=(ax+b)除以(1+x²)的定义域为(负一,一)且f(二分之一)=五分之二.(1)求a,b的值(2)是判断并证明f(x)在(负一,一)上有单调性.
1)f(x)为奇函数,则f(0)=b=0.又f(1/2)=2/5,则a=1
2)f(x)=2x/(1+x^2)=2/(x+1/x),因为x+1/x在(-1,1)上为减函数,所以f(x)在(-1,1)上为增函数.
(1)由函数f(x)是奇函数可以得到f(0)=0,解得b=0
又有f(1/2)=2/5,即(a/2)/(5/4)=2/5,解得a=1
所以a=1,b=0
(2)由题(1)的结果知f(x)=x/(1+x^2),定义域为实数集
下面用函数单调性的定义来证明f(x)的单调性
设c大于d...
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(1)由函数f(x)是奇函数可以得到f(0)=0,解得b=0
又有f(1/2)=2/5,即(a/2)/(5/4)=2/5,解得a=1
所以a=1,b=0
(2)由题(1)的结果知f(x)=x/(1+x^2),定义域为实数集
下面用函数单调性的定义来证明f(x)的单调性
设c大于d
则f(c)-f(d)=c/(1+c^2)-d/(1+d^2)=(c-d)(1-cd)/(1+c^2)(1+d^2)
已知(c-d),(1+c^2)和(1+d^2)均大于零
所以f(c)-f(d)的正负就与(1-cd)的正负一致
1)若-1大于c大于d,则cd大于1,(1-cd)小于零
得此时f(c)-f(d)小于零
所以f(x)在区间(负无穷大,-1)上单调递减
2)若1大于c大于d大于-1,则cd小于1,(1-cd)大于零
得此时f(c)-f(d)大于零
所以f(x)在区间(-1,1)上单调递增
3)若c大于d大于1,则cd大于1,(1-cd)小于零
得此时f(c)-f(d)小于零
所以f(x)在区间(1,正无穷大)上单调递减
综上得
f(x)在区间(负无穷大,-1)和(1,正无穷大)上单调递减
在区间(-1,1)上单调递增
(ps:好久没有做类似的数学题了,如果在计算上或书写上有点小失误,请见谅。不过大致的思路应该没有错。不知道你有没有学过导数,有的话,也可以用导数解。没有的话,就算了。如果还有什么问题的话,就直接问,我尽量为你解答。)
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