作业帮试证明“拿破仑定理”（答得好,最多可追加30分）试证明“拿破仑定理”：对任意三角形ABC,将三边向外作三个正三角形,连接这三个正三角形的中心,则得到一个正三角形.（答得好,最多可追
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 08:44:54
试证明“拿破仑定理”（答得好,最多可追加30分）试证明“拿破仑定理”：对任意三角形ABC,将三边向外作三个正三角形,连接这三个正三角形的中心,则得到一个正三角形.（答得好,最多可追
试证明“拿破仑定理”（答得好,最多可追加30分）
试证明“拿破仑定理”：对任意三角形ABC,将三边向外作三个正三角形,连接这三个正三角形的中心,则得到一个正三角形.
（答得好,最多可追加30分）
试证明“拿破仑定理”（答得好,最多可追加30分）试证明“拿破仑定理”：对任意三角形ABC,将三边向外作三个正三角形,连接这三个正三角形的中心,则得到一个正三角形.（答得好,最多可追
拿破仑定理:
?切蜛BC中,向三边分别向外侧作正三角形,然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形.
这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形,则它们的顶点构成一个等边三角形．
下面介绍拿破仑定理的两种推广：
定理1 以△ABC的三边为底边各向形外作等腰三角形BCD,CAE和ABF,这三个等腰三角形的底角各为α,β和γ,且α+β+γ＝90°,则
∠FDE＝90°-α,∠DEF＝90°-β,∠EFD＝90°-γ．
证明 为方便计,把△ABC的三内角简记为A、B、C．因DC＝DB,则可将△DCE绕D点旋转∠BDC至△DBG位置,连FG．
∵∠FBG＝360°-∠DBF-∠DBG
＝360°- (α+β+γ) - (α+C+β)
＝180°-B-C+180°-2(α+β+γ)+β+γ
＝A+β+γ＝∠FAE．
又BG＝CE＝AE,FB＝FA,
∴△FBG≌△FAE,FG＝FE．
从而△DGF≌△DEF,∠FDG＝∠FDE,
同理∠DEF＝90°-β,∠EFD＝90°-γ．
定理2．在△ABC的外侧作三角形△BCP、△CAQ和△ABR,使∠PBC＝∠QAC＝α,∠PCB＝∠QCA＝β,∠RAB＝∠RBA＝γ,且α+β+γ＝90°,则RQ＝RP,且∠QRP＝2α．
证明 RB绕R逆时针旋转2α至RG,连BG、AG、QG．
∵∠GBA＝∠GBR-γ
＝90°-α-γ
＝β
又RA＝RB＝RG,
即R为△ABG的外心,
∴△ABG∽△ACQ∽△BCP,
又∠BAC＝∠GAQ,
又∠RGQ＝∠AGQ+∠AGR
＝∠ABC+α+γ＝∠RBP,
∴∠RGQ≌△RBP．
∴RQ＝RP．
又因∠GRQ＝∠BRP,
∴∠QRP＝∠GRB＝2α．