作业帮m为何整数时,9m^2+5m+26能分解为两个连续整数的乘积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 17:42:11
m为何整数时,9m^2+5m+26能分解为两个连续整数的乘积
m为何整数时,9m^2+5m+26能分解为两个连续整数的乘积
m为何整数时,9m^2+5m+26能分解为两个连续整数的乘积
问题:m是什么整数时,9m^2+5m+26能分解为两个连续的整数的乘积.
解 设对某整数k,有:9m^2+5m+26=k(k+1) ,
即 9m^2+5m+26-k(k+1)=0 ,(1)
把(1)式看成是关于m的二次方程,于是求m的整数值,就归结为上述二次方程有整数根,据判别式:
△=25-36[26-k(k+1)]=36k^2+36k-911,
△为完全平方数.
再设36k^2+36k-911=p^2 ,[p为整数]
即 36k^2+36k-911-p^2=0 (2)
这个关于k的二次方程有整数根,必须
△=36^2+4*36(911+p^2)=12^2*(920+p^2)
为完全平方数,从而(920+p^2) 是完全平方数.
又设q^2=920+p^2 [q为整数] ,则
(q+p)*(q-p)=920 =2*2*2*5*23 (3)
由此可见,q+p与q-p中必有一个偶数,又因q>p,且q+p与q-p之差为偶数,所以q+p与q-p都是偶数.再由(3)式可得以下情形:
q-p=2,q+p=460; (4-1)
q-p=4,q+p=230; (4-2)
q-p=10,q+p=92; (4-3)
q-p=20,q+p=46.(4-4)
(4-1) q=231,p=229,
(4-2) q=117,p=113,
(4-3) q=51,p=41,
(4-4) q=33,p=13.
把p值代入(2)式求得k,再把k值代入(1)式求得:
k(k+1)=1482 k=38,9m^2+5m-1456=0 m=-13,
k(k+1)=380 k=19,9m^2+5m-354=0 m=6,
k(k+1)=72 k=8,9m^2+5m-46=0 m=2,
k(k+1)=30 k=5,9m^2+5m-4=0 m=-1,
m=-13时,9m^2+5m+26=1482=38*39
m=6时,9m^2+5m+26=380=19*20;
m=2时,9m^2+5m+26=72=8*9;
m=-1时,9m^2+5m+26-1=30=5*6.
所以m=-13,6,2,-1时,9m^2+5m+26能分解为两个连续的整数的乘积,.
m=2
9m^2+5m+26=8*9=72
9m^2+5m+26
=(9m^2+3m)+(2m+26)
=(3m)(3m+1)+(2m+26)
显然,当2m+26=0,即m=-13时,9m^2+5m+26能分解为两个连续整数的乘积
2楼老有才了！
9m^2 + 5m + 26 = n * (n+1)
=>
(3m+1) (3m+1) - m + 25 = n*n + n
假设 n = 3m+1，那么
25-m = 3m + 1，从而 4m = 24 即 m=6
而 n=19
把 m=6， n=19 代入
9m^2+5m+26 ＝ 9*36+30+26 ＝ 380
n * (n+1) ＝ 19 * 20 = 380
证明上面的做法正确