已知数列an满足a1=1,a2=2a(n+2)=a(n+1)+2an写出数列前6项,由此猜想数列的一个通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/08 08:47:18

已知数列an满足a1=1,a2=2a(n+2)=a(n+1)+2an写出数列前6项,由此猜想数列的一个通项公式
已知数列an满足a1=1,a2=2a(n+2)=a(n+1)+2an写出数列前6项,由此猜想数列的一个通项公式

已知数列an满足a1=1,a2=2a(n+2)=a(n+1)+2an写出数列前6项,由此猜想数列的一个通项公式
记 b(n)=a(n+1)+a(n),则 b(1)=3.
由于 a(n+2)=a(n+1)+2a(n)
可化为 a(n+2)+a(n+1)=2[a(n+1)+a(n)],
即 b(n+1)=2b(n),所以{b(n)}是以2为公比的等比数列,
根据b(1)=3,所以可知 b(n)=3*2^(n-1).
即 a(n+1)+a(n)=3*2^(n-1).
记 p(n)=a(n)-2^(n-1),p(1)=0.
由于 a(n+1)+a(n)=3*2^(n-1)
可化为 a(n+1)+a(n)=2^n+2^(n-1).
即 p(n+1)=-p(n),p(1)=0,
所以 p(n)=0,从而可肯定 a(n)=2^(n-1).
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