n维列向量α1,α2,α3,...α(n-1)线性无关,且与非零向量β1,β2正交,证明β1,β2线性相关;α1,α2,α3,...α(n-1),β1线性无关.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/29 10:50:31
n维列向量α1,α2,α3,...α(n-1)线性无关,且与非零向量β1,β2正交,证明β1,β2线性相关;α1,α2,α3,...α(n-1),β1线性无关.
n维列向量α1,α2,α3,...α(n-1)线性无关,且与非零向量β1,β2正交,
证明β1,β2线性相关;α1,α2,α3,...α(n-1),β1线性无关.
n维列向量α1,α2,α3,...α(n-1)线性无关,且与非零向量β1,β2正交,证明β1,β2线性相关;α1,α2,α3,...α(n-1),β1线性无关.
假设β1可由α1,α2,α3,...α(n-1)线性表出,
记 β1=k1*α1+k2*α2+k3*α3+……+k(n-1)*α(n-1)
由于α1,α2,α3,...α(n-1)与β1 正交
即αi点乘β1=0(i=1,……,n-1)
可推出ki=0(i=1,……,n-1)即β1=0与题设相矛盾,
则有α1,α2,α3,...α(n-1),β1线性无关
同理α1,α2,α3,...α(n-1),β2线性无关
由于n+1个n维向量必线性相关,以及上述两个结论,可得
β1,β2线性相关
α1,α2,α3,。。。α(n-1)线性无关。
A=<α1,α2,α3,。。。α(n-1)>为n-1维子空间。设B是A在n维空间的正交
补,则B是1维子空间。β1、β2都在B.
∴β1,β2线性相关(个数>空间维数必相关)。
再假如α1,α2,α3,。。。α(n-1),β1线性相关。从“无关相关表示定理”
β1可以用α1,α2,α3,。。。α(n-1)线性表...
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α1,α2,α3,。。。α(n-1)线性无关。
A=<α1,α2,α3,。。。α(n-1)>为n-1维子空间。设B是A在n维空间的正交
补,则B是1维子空间。β1、β2都在B.
∴β1,β2线性相关(个数>空间维数必相关)。
再假如α1,α2,α3,。。。α(n-1),β1线性相关。从“无关相关表示定理”
β1可以用α1,α2,α3,。。。α(n-1)线性表示。β1∈A.而β1∈B.
β1∈A∩B=<0>,β1=0,矛盾。
∴α1,α2,α3,。。。α(n-1),β1线性无关。
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