证明方程x^2+x=1只有一个正根（微分中值定理）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/07 19:29:56

证明方程x^2+x=1只有一个正根（微分中值定理）
证明方程x^2+x=1只有一个正根（微分中值定理）

证明方程x^2+x=1只有一个正根（微分中值定理）
令f(x)=x^2+x-1(x>0)
则f'(x)=2x+1>0(x>0)所以f(x)在[0,+∞)单调上升
又f(0)=-10
由连续函数零点存在定理,存在x0∈(0,1),f(x0)=0
由于f(x)在[0,+∞)单调上升,故f(x)在[0,+∞)存在唯一正根x0

证明：作辅助函数
f(x)=x^2+x-1 ，x为任意实数；
则 f(x)在R上连续，又 f(0)=-1,f(1)=1,由连续函数零点存在定理，
存在x0 in (0,1)使的 f(x0)=0;
假设存在 x1>x0, 且f(x1)=0;

又f(x)在R上可导，且f'(x)=2x+1>0 对于任意x>0，

从而由...

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证明：作辅助函数
f(x)=x^2+x-1 ，x为任意实数；
则 f(x)在R上连续，又 f(0)=-1,f(1)=1,由连续函数零点存在定理，
存在x0 in (0,1)使的 f(x0)=0;
假设存在 x1>x0, 且f(x1)=0;

又f(x)在R上可导，且f'(x)=2x+1>0 对于任意x>0，

从而由微分中值定理，存在t in( x0,x1)使得

0=f(x1）-f(x0）=f'(t)(x1-x0)>0 矛盾！即证本题！（利用了微分中值定理）

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