作业帮简述概率论中互不相容,对立,独立与不相关之间的联系区别
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 01:28:29
简述概率论中互不相容,对立,独立与不相关之间的联系区别
简述概率论中互不相容,对立,独立与不相关之间的联系区别
简述概率论中互不相容,对立,独立与不相关之间的联系区别
互不相容:
若两事件A与B不能同时发生,则称A与B是互不相容事件,或称互斥事件,记作A∩B= Φ
对立:
在互不相容的基础上再加一个条件,P(A)+P(B)=1.通俗的说所谓对立事件,有你没我,有我没你,咱俩之间必须有一个
独立:
设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立
不相关:
若随机变量 X 和 Y 的相关系数 r(X,Y)=0,称 X 与 Y 不相关,众所周知,独立变量一定不相关(自然要求方差有限),不独立变量也可以不相关,单位圆内的均匀分布即其一例.
互不相容与对立
由上面的定义可知,对立对两个事件的性质要求比互不相容高
独立与不相关
独立和不相关从字面上看都有“两个东西没关系”的意思.但两者是有区别的.相关性描述的是两个变量是否有线性关系,独立性描述的是两个变量是否有关系.不相关表示两个变量没有线性关系,但还可以有其他关系,也就是不一定相互独立
结论：
（1）X与Y独立,则X与Y一定不相关
（2）X与Y不相关,则X与Y不一定独立
证明：
（1）由于X与Y独立,所以f(xy)=f(x)f(y),（f为概率密度函数）
于是:E(XY)=∫∫f(xy)dxdy
=∫∫[f(x)*f(y)]dxdy
=∫f(x)dx*∫f(y)dy
=E(X)E(Y)
所以：E(XY)=E(X)E(Y),即X,Y不相关.
（2）反例：
X=cost,Y=sint,其中t是(0,2π]上的均匀分布随机变量.
易得X和Y不相关,因为：
E(XY)=E(cost sint)=（1/2π）*∫sint cost dt = 0
E(X)=（1/2π）* ∫cost dt = 0
E(Y)=（1/2π）* ∫sint dt = 0
所以E(XY)=E(X)E(Y)
但是他们是不独立的.
因为：X和Y各自的概率密度函数在（-1,1）上有值,但是XY的联合概率密度只在单位圆内有值,所以f(XY)不等于f(x)*f(y),两者不独立.
我也在学习概率论,后天就考试了...希望楼主采纳,