如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,求PA+PB的最小值.给证明啊

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 17:36:47

如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,求PA+PB的最小值.给证明啊
如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,
求PA+PB的最小值.给证明啊

如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,求PA+PB的最小值.给证明啊
作A关于MN的对称点A1,连接A1B交MN于P,则此时PA+PB最小（一条线段）.
下求A1B的长：
设A1A交MN于点U,则角NAU=30°,易知A1A=根号3,AB=1/2,由余弦定理可求得A1B=(根号7)/2
(此时PA+PB=A1B)

如图：做点B关于MN的对称点C，连接AC，其于MN的交点为P，则此时PA+PB最小

证明：在MN上另取一点Q，连接AQ，BQ，CQ

由于B、C关于MN对称，所以BQ=CQ，BP=CP

所以：PA+PB=PA+PC，QA+QB=QA+QC

在△ACQ中，由于两边之和大于第三边，所以：QA+QC > AC=PA+PC

所以，当P为AC与MN的交点时，PA+PB最小

下面求解PA+PB的值

连接AO、CO，由于同弧所对圆心角是圆周角的2倍，所以∠AON=60°，一周为360°，刚好1/6

所以弧AN为1/6圆周，而B是弧AN的中点，所以BN为1/12圆周

B与C关于MN对称，所以弧CN也是1/12圆周

所以弧AC为 1/6 + 1/12 = 1/4圆周，所对的圆周角为 360°/4 = 90°

即：∠AOC=90°

由于OA、OC都是圆的半径，所以OA=OC=MN/2=1

所以在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=2

所以：AC=√2

即：PA+PB=√2 为其最小值

MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上, 如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,求PA+PB的最 如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,弧AN的度数为60,点B为弧AN的中点,P是直径MN上的一个动点,点PA+PB的最小值 MN是圆o的直径,MN=2,点A在圆o上,角AMN=30度,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为? 如图,MN是半径为1的圆o的直径,点A在圆上, 如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,角AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值是 如图,MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,求PA+PB的最小值.给证明啊 如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,点P是直径MN上一个动点,则PA+PB 如图,MN是圆O的直径,MN＝2,点A在圆O上,角AMN＝30,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值是多少?（求证明过程） 如图,MN是⊙o的直径,MN=2,点A在⊙o上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,求PA+PB的最小值.http://hiphotos.baidu.com/%C0%EE%D1%EF%C3%C5%C9%F1/pic/item/69e4182b437428235343c19d.jpg 6、如图,MN是⊙O的直径,C是AB的中点,AB=6,OC=4,求OA及直径MN的长.图大概是:一个圆,MN为直径,圆心为O,在MN上有一点C,过点C作直线AB,A、B点在圆上与圆相交,连接OA.希望在20分钟内解决.要正确率. 如图,AB是圆O的直径,直线过MN过点B,△ABC内接于圆O,角CBM=角A.求证:MN是圆O的切线 已知:如图,MN是圆O的直径,四边形ABCD、CEFG是正方形,A、D、F在圆O上,B、C、G在直线MN上,S正方形CEFG=4,则圆O的半径为? 如图MN为⊙为直径,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=30°,BB为弧AN的中点,P是直径MN上的一点,则PA+PB的最小值A.1 B√2 C.2 D.2√2 【急】如图MN是⊙O的直径,MN=2,点 在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN的中点,P要过程!急! 如图,AB是圆O的直径,直径MN交圆O于C,D两点,AE⊥MN,BF⊥MN,垂足分明为点E,F.（1)求证：CE=DF,OE=OF. (2)当MN向上平移与AB相交时,如果其他条件不变,（1）中结论是否仍然成立? 如图,MN是半径为1的圆O的直径,点A在圆O上,角AMN=30度,B为AN弧的中点P是直径MN上一动点PA+PB的最小值为 如图,MN是半径为1的圆O的直径,点A在圆O上,角AMN=30度,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值是多少?