已知a,b∈（0,+∞）,且a+b=1,求证：1/a^2+1/b^2》8紧急.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/08 09:47:25

已知a,b∈（0,+∞）,且a+b=1,求证：1/a^2+1/b^2》8紧急.
已知a,b∈（0,+∞）,且a+b=1,求证：1/a^2+1/b^2》8
紧急.

已知a,b∈（0,+∞）,且a+b=1,求证：1/a^2+1/b^2》8紧急.
1/a^2+1/b^2
=（a+b）^2/a^2+(a+b)^2/b^2
=2+2(a/b+b/a)+(a^2/b^2+b^2/a^2)
>=2+2*2+2
=8
当且仅当a/b=b/a且a^2/b^2=b^2/a^2,即a=b时取等号

∵a+b=1，两边平方得
∴a²+b²+2ab=1。
∴(1/a²)+(1/b²)=[(a²+b²+2ab)/a²]+[(a²+b²+2ab)/b²]
=2+[(b²)/(a²)+(a²)/(b²)]+2[(a/b)+(b/a)]

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∵a+b=1，两边平方得
∴a²+b²+2ab=1。
∴(1/a²)+(1/b²)=[(a²+b²+2ab)/a²]+[(a²+b²+2ab)/b²]
=2+[(b²)/(a²)+(a²)/(b²)]+2[(a/b)+(b/a)]
由均值不等式：
∴(b²)/(a²)+(a²)/(b²)≥2，
(a/b)+(b/a)≥2
∴(1/a²)+(1/b²)≥2+2+2×2=8.

收起

已知a、b∈(0,+∞),且a+b=1,求证（1/a）+（1/b）≥8 已知a,b,c满足a^2+b^2=c^2,且a,b,c∈（0,+∞） （1）求证 log2（1+已知a,b,c满足a^2+b^2=c^2,且a,b,c∈（0,+∞）（1）求证 log2（1+（b+c）/a）+log2（1+（a-c）/b）=1 已知a,b∈（0,+∞）,且a+b=1,求证：1/a^2+1/b^2》8紧急. 已知：a,b∈R+且a+b=1 ,求证：2^a+2^b 已知(a+b)(aa+bb-1)=2 且a>0 b>0 求证a+b 已知a,b都是正实数,且1/a-1/b-1/a+b=0, 已知a,b,c∈(0,+∞),且a²+b²=c² 已知a,b∈R,集合A=﹛a,a+b,1﹜ B=﹛b,b/a,0﹜,且A包含于B,B包含于A,求a-b的值 已知任意实数a,求证：（-1）a= -a 已知任意实数a,b且a,b都不等于0,求证a乘以b不等于0 已知：a>0,b>0,且a+b=1,求证：（1）ab=9 已知a,b>0,且1/a+1/b 已知,|a-2014|-|b+3|=0,且a+b 已知|a-2014|-|b+3|=0,且a+b 已知a>0,b>0,且a+b=1,求（1/a+1)(1/b+1）最小值 已知a>0,b>0且a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)>=25/4 已知a>0．b>0,且a+b=1,求(a+1/a)+ (b+1/b) 的最小值 已知a.b>0 且a+b=1求证(a+1/a)(b+1/b)>=25/4 已知:a,b都是负数且(1/a)+(1/b)-1/(a-b)=0 求b/a的值