G是△ABC的重心,以AG为弦作圆切BG于G,延长CG交圆于D.求证:AG2=GC*GD

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 08:55:13

G是△ABC的重心,以AG为弦作圆切BG于G,延长CG交圆于D.求证:AG2=GC*GD
G是△ABC的重心,以AG为弦作圆切BG于G,延长CG交圆于D.求证:AG2=GC*GD

G是△ABC的重心,以AG为弦作圆切BG于G,延长CG交圆于D.求证:AG2=GC*GD
证明:延长GP至F,使PF=PG,连接AD,BF,CF,
∵G是△ABC的重心,
∴AG=2GP,BP=PC,
∵PF=PG,
∴四边形GBFC是平行四边形,
∴GF=2GP,
∴AG=GF,
∵BG∥CF,
∴∠1=∠2
∵过A、G的圆与BG切于G,
∴∠3=∠D,
又∠2=∠3,
∴∠1=∠2=∠3=∠D,
∴A、D、F、C四点共圆,
∴GA、GF=GC•GD,
即GA2=GC•GD.