1.1、2、3、4.4n,将其均分为n组,使每组中都有一个数是另三个数的算术平均数,求正整数n的所有取值.2.求证：（tanx)^sinx+(cotx)^cosx>2,0

1.1、2、3、4.4n,将其均分为n组,使每组中都有一个数是另三个数的算术平均数,求正整数n的所有取值.2.求证：（tanx)^sinx+(cotx)^cosx>2,0
1.1、2、3、4.4n,将其均分为n组,使每组中都有一个数是另三个数的算术平均数,求正整数n的所有取值.
2.求证：（tanx)^sinx+(cotx)^cosx>2,0

1.1、2、3、4.4n,将其均分为n组,使每组中都有一个数是另三个数的算术平均数,求正整数n的所有取值.2.求证：（tanx)^sinx+(cotx)^cosx>2,0

1. 每组中的有三个数的算术平均数恰为另一个数,设这个数为x.则另外三个数的和必为3x.从而每组中4个数的和为4x,即是4的倍数.故所有数的和应为4的倍数.注意到

1 + 2 + 3 + ... + 4n = 4n(4n+1)/2=2n(2n+1)

而2n+1为奇数,所以要想使所有数的和为4的倍数,n必须为偶数.事实上,只要n为偶数,那么必然存在符合条件的分组方式.对于任意整数k>=0 , 我们可以把连续的八个数 

8k+1, 8k+2,8k+3,8k+4,8k+5,8k+6,8k+7,8k+8

分为两组

8k+2,8k+3,8k+4,8k+7

8k+1,8k+5,8k+6,8k+8

可以看到,8k+4 = [(8k+2) + (8k+3) + (8k+7)]/3

8k+5 = [(8k+1) + (8k+6) + (8k+8)]/3.

因此,对于任意的偶数n = 2m,可以先把所有的数分成m组,每组为8个连续的正整数,然后每组数按照上述方法再分成两组,使得每组中都有一个数是另三个数的算术平均数.因此n的取值为所有正偶数.

2. 此题x的取值范围似乎不对,感觉应为0<x<π/2,不然的话要算负数的实数次幂,貌似不是初等数学的内容.

下面假设0<=x<=π/2,因此tanx, cotx, sinx, cosx都为非负实数

(tanx)^sinx+(cotx)^cosx 

>= 2 ((tanx)^sinx (cotx)^cosx)^(1/2)

只需证明(tanx)^sinx (cotx)^cosx >=1.

(tanx)^sinx (cotx)^cosx

= tanx^(sinx - cosx)

当0<=x<=π/4时,tanx >=1,sinx - cosx >=0,显然tanx^(sinx - cosx) >=1.

当π/4<=x<=π/2时,tanx <=1,sinx - cosx <=0,仍然有tanx^(sinx - cosx) >=1.

因此(tanx)^sinx (cotx)^cosx >=1,0<=x<=π/2.

3. 设N为AB与圆的切点.根据弦切角定理容易知道∠BNL = ∠ BKN.从而∠BLN = 180 - ∠BNL - ∠NBK = 180 -  ∠ BKN - ∠NBK = ∠BNK.由于BCKN亦为等腰梯形,∠BNK = ∠NKC.由上两式可得,∠BLN=∠NKC.故∠NLK = 180 - ∠BLN = 180 - ∠NKC = ∠BCD.易知NK‖BC,∠NKB = ∠KBC.我们有△NLK∽△BCK.因此

KL / NL = BC/CK = 2 (易知BC=2CK).

同样由于∠BNL = ∠ BKN,∠NBL = ∠ NBL,△NBL∽△BNK.从而

NL/BL = NK/BN.

由于KL =2 NL,有KL/BL = 2NK/BN.

同理可证,MK/AM = 2NK/AN.因此

AK/AM + BK/BL = (MK+AM)/AM + (LK+BL)/BL

=MK/AM+KL/BL +2

=2(NK/AN+NK/BN)+2.

接下来计算NK/AN+NK/BN.延长BA,CD交与点P.设PA = w,AN = x,BN = y, NK = z.易知

PA/PB = AD/BC,w/(w+x+y) = 2x/2y,可知

w+x+y = yw/x.

同样易知

NK/AD = PN/PA,NK/BC = PB/PN.因此

z/x = 2 NK/AD = 2 PN/PA =2 (w+x)/w =2 (1+ x/w).

z/y = 2 NK/BC = 2 PB/PN = 2 (w+x)/(w+x+y) =2 (1- y/(w+x+y)) = 2 (1- y/(yw/x)) = 2 (1- x/w).

可知

NK/AN+NK/BN = z/x + z/y = 2 (1+ x/w) +  2 (1- x/w) = 4.

最终

AK/AM + BK/BL = =2(NK/AN+NK/BN)+2 = 10.

4. 第四题所给的几条曲线似乎都是抛物线.先求公切线的斜率：设公切线方程为y = kx + l,则

-x^2 +(b1-k)x + c1-l = 0

-x^2 +(b2-k)x + c2-l = 0

都只有一个根,因此

Δ1 = (b1-k)^2+4(c1-l)=0

Δ2 = (b2-k)^2+4(c2-l)=0

解之得 k = (b1+b2)/2 + 2(c1-c2)/(b1-b2).

接下来计算抛物线与T1、T2的交点.

ax^2+bx+c=-x^2+b1x+c1

ax^2+bx+c=-x^2+b2x+c2

要是两曲线相切,上两式的判别式为零

(b-b1)^2 -4(a+1)(c-c1)=0 ... (1)

(b-b2)^2 -4(a+1)(c-c2)=0 ... (2)

可解得两切点AB横坐标为

x1=(b1-b)/(2a+a), x2=(b2-b)/(2a+a).

AB的斜率为

k'=(y1-y2)/(x1-x2) = [a(x1^2 - x2^2)+b(x1-x2)]/(x1-x2) = a(x1+x2)+b.

(1)-(2)可得

a+1=-4[(b-b1)^2-(b-b2)^2]/(c1-c2)

a=-4[(b-b1)^2-(b-b2)^2 -4(c1-c2)]/(c1-c2)

因此

k' = [(b-b1)^2-(b-b2)^2 - 4(c1-c2)]/(c1-c2) * 2{ (c1-c2) (b1-b) / [(b-b1)^2-(b-b2)^2] + (c1-c2) (b2-b) / [(b-b1)^2

-(b-b2)^2]} + b

= [(b-b1)^2-(b-b2)^2 - 4(c1-c2)] * [ (b1-b) +(b2-b)  ] /  2[(b-b1)^2-(b-b2)^2] + b

= (b1+b2 - 2b)/2 - 4(c1-c2) * [ (b1-b) +(b2-b) ] /  2[(b-b1)^2-(b-b2)^2] + b

= (b1+b2)/2 - 2(c1-c2)/[(b-b1)-(b-b2)] 

= (b1+b2)/2 + 2(c1-c2)/(b1 - b2)

可见k = k',两直线平行.